Что такое условное моделирование?

Пол Хойкаас — Product Strategy Manager, Micromine Pty. Ltd.

Введение

Сейчас Условное моделирование становится повальным увлечением. Страничка блога Orefind отражает этот тренд, как минимум шесть статей на эту тему вышло с 2012 года. Джан Кован и Рон Рейд — самые примечательные блоггеры.

К несчастью, кажется, что не все имеют четкое понимание термина «условное моделирование». Я говорю — к несчастью, так как подлинное определение согласовано до пределов «истинное условное моделирование», хотя определитель «истинный» не является необходимым.

Таким образом, это попытка разъяснить, что есть условное моделирование. Термин является новинкой для сектора минерального сырья, но индустрия компьютерной графики использует данные методы с конца 60-х годов. Рассмотрим отрывок из тезисов Джулиаса Блументаля, Skeletal Design of Natural Forms (Jan, 1995): «Геометрическое моделирование часто классифицируется на параметрические и условные методы. Оба хорошо развиты в компьютерной графике (ранние параметрические методы описаны в (Coons, 1967), а ранние условные методы описаны в (Mathematical Applications Group, 1968). Условные поверхности более просто описывают пространственные отношения…»

 Рис. 1.

В математике слово «условное» имеет более длинную историю и используется для описания отдельного типа функции.

Имплицитное или эксплицитное?

Условное моделирование появилось в горной индустрии благодаря Джану Ковану и его докладу, представленному на Пятой Международной горно-геологической конференции в Бендиго в ноябре 2003 года. Содержимое данной статьи отражает суть данной статьи.

Возможно, для того, чтобы подчеркнуть понятия, связанные с условным моделированием, статья описывала традиционные методы моделирования (которые сильно полагаются на ручную оцифровку), которые известны как «эксплицитные». Я считаю, что ссылка на данную информацию может случайно вызвать некоторую путаницу, которую мы наблюдаем сегодня. В обычной жизни слова «имплицитный» и «эксплицитный» являются антонимами (бывшее обозначение «полностью и точно определенный» и более позднее — «выраженный не напрямую») Связывая оба слова с процессом моделирования, можно предположить, что каждый метод должен попадать в одну из этих категорий. Так как эксплицитный метод был более понятен, он был удобен для отношения любой процедуры, которая давала хороший результат, но не подразумевала ручной оцифровки, к имплицитному методу. Например, стало популярно говорить, что создание одной и более оболочек по содержанию из трехмерной блочной модели, является видом условного (имплицитного) моделирования. Тем не менее это очевидно не эксплицитный метод, но он также не является имплицитным. Это не так непонятно, как кажется, как только вы поймете, что описание «условный» пришел из математического определения, а не из повсеместного использования.

Кривые и поверхности

Большинство из справочного материала для данной темы относится к «кривым» и «поверхностям». Стоит обсудить математические определения кривых и поверхностей, так как они отличаются от стандартного понимания этих терминов:

• кривая похожа на линию, но она не обязательно прямая. Открытая кривая имеет начальную и конечную точки. Замкнутая кривая, закрыта, поэтому у нее нет крайних точек;
• как ни странно, (геометрическое) определение поверхности может быстро стать слишком перегруженным из-за технических терминов, например, «многосвязная область» или «эвклидовый». Простое описание — «часть или все границы солида». Основная идея в том, что поверхности, как и кривые, могут быть замкнутыми или открытыми. Плоскость — простой пример открытой поверхности, а сфера — замкнутой поверхности. Другой аспект — открытая поверхность имеет площадь, а замкнутая поверхность имеет объем.

Типы функций

Таким образом, что означает термин «условный» в математическом контексте? В математике отношение между x и y, z (для поверхностей) называется функциями, и существует три отдельных типа функций: эксплицитная, имплицитная (условная) и параметрическая.

Используя круг в качестве примера, я проиллюстрирую три типа этих функций ниже. Чтобы упростить описание, круг отцентрирован на отметке 0, 0, и имеет радиус = 2 (рис. 1).

Эксплицитные функции создают значения y напрямую из значений x, таким образом, создавая серию точек, которые лежат на круге. Тем не менее это ограничение на единичное значение (замкнутые линии или поверхности не поддерживаются) делает эксплицитное моделирование неподходящим для наших целей.

 Рис. 2.

Имплицитные функции имеют связь с общим использованием слова «условный». Если использовать пример с кругом, то наша условная функция x² + y² – r² = 0. Основываясь на этом, и указав определенный радиус (например, 2), подумайте о том, как вы нарисуете круг. Не существует прямого способа, чтобы создать систематический ряд последовательных точек, которые лежат на круге, и поэтому данный метод называется условным. Мы знаем, что существует круг — он точно задан, но его визуальное представление проблематично.

Но условная форма имеет свои особенные качества. Для определенного круга (где радиус — известное значение) мы можем подставить любой x, y в выражение. Если результат положительный, точка находится за пределами круга. Если он отрицательный, точка попадает в пределы круга. Если результат ноль, тогда точка лежит на круге. Другими словами, мы можем просто определить «классификацию» любой точки.

Параметрическое представление дает удобный способ нарисовать окружность. Начнем с t = 0, рассчитаем x и y. Затем прибавим к t небольшое значение и рассчитаем следующие значения x и y. Продолжайте этот процесс, пока t = 2 …

Условная модель

Рассмотрим трехмерный объем, содержащий переменный, но измеримый атрибут. Этим атрибутом может быть плотность, температура или содержание рудного тела. Фактические измерения брались из разбросанных точек. Точки данных могут быть использованы для получения имплицитной функции, обеспечивая последовательное математическое представление атрибута вдоль объема. Эта условная модель содержит бесконечное количество изоповерхностей — поверхностей, представляющих постоянное значение точек. Оболочка по содержанию — это знакомый пример изоповерхностей.

Но условная модель сама по себе не может быть визуализирована. Чтобы сделать это, мы должны вычесть одну или более изоповерхностей из модели, а затем отобразить ее в трехмерном пространстве. Но вещи не так просты, сложность заключается в нахождении соответствующего параметрического решения.

Как мы видели ранее, на примере с окружностью, условная модель не имеет прямого способа систематично создавать точки, которые лежат на изоповерхности. Она делает проверку на определение того, лежит ли точка на поверхности или под ней, но у нее нет правил создания точек поверхности.

Определение (итог)

Условная модель — это последовательное математическое представление некого атрибута вдоль объема. Она имеет очень высокое разрешение. Создание значительных поверхностей из этой модели — это отдельный и второй шаг, он независим от создания Условной модели.

Давайте повторно рассмотрим сценарий создания оболочек по содержанию из блочной модели. Он попадает между двумя вышеперечисленными определениями. Для начала, модель — это дискретный набор точек, каждая из которых имеет значение содержания, а не последовательное представление содержаний в трехмерном пространстве. Более того, разрешение выходной поверхности зависит от размера блоков исходной модели.

Выделение изоповерхности

Условное моделирование в общем имеет 3 отдельные составляющие:
1. Объединение данных в подходящий формат;
2. Создание последовательной, волюметрической модели (условная модель);
3. Вывод одной и более поверхностей, содержащихся в модели.

Вывод — это в большинстве случаев триангулированная сетка или каркас. Так как треугольники имеют прямые стороны, выходной каркас — это аппроксимация смоделированных поверхностей. Чем меньше сетка (чем меньше треугольники), тем лучше аппроксимация, тем слаженней результат. Размер сетки — это компромисс между приемлемым отображением и скоростью обработки процесса.

До сих пор нет прямого способа для создания точек поверхности, поэтому мы должны обращаться к непрямым средствам. Один из наиболее распространенных методов называется «шагающие кубы».

 Рис. 3.

Принцип может быть (упрощенно) проиллюстрирован с использованием «марширующих квадратов» для нашего двухмерного примера с окружностью. Начиная с квадрата, расположенного в верхнем левом углу наших экстентов, оцениваем условную функцию для каждого угла квадрата. Если все углы имеют положительные значения, тогда квадрат полностью за пределами окружности. Также, если все углы дают отрицательные значения, тогда квадрат полностью в пределах окружности. Если некоторые углы находятся за пределами, а другие в пределах, тогда квадрат пересекается окружностью, и мы можем рассчитать линию пересечения. Если мы покрыли область с сеткой квадратов, в результате мы получаем набор сегментов, которые все вместе представляют собой окружность. Чем меньше квадраты, тем больше количество сегментов линий, тем слаженней результат (рис. 2).

В трехмерном пространстве размер куба контролирует разрешение конечной поверхности. Два дракона на скриншотах ниже созданы на тех же принципах условной модели, но эти поверхности были созданы с использованием разного размера сетки (рис. 3).

Радиально-базисные функции

Условное моделирование всегда связано с Радиально-базисными функциями (РБФ). Они считаются одним из наиболее точных и стабильных методов интерполяции по разбросанным точкам.

Базисные функции были охарактеризованы как математическое Лего. Они являются набором базисных блоков, которые могут укладываться один на другой, чтобы в итоге создать представление качественной характеристики.

Радиальные базисные функции — это группа функций, которая создает значения в зависимости от расстояния. Таким образом, чем ближе вы находитесь к определенной точке, тем больше влияния она имеет. Существуют следующие типы функций:

• гауссова;
• мультиквадратичная;
• обратноквадратичная;
• обратномультиквадратичная;
• полигармонический сплайн.

Аналогично, Базисные функции Фурье — группа функций, которые относятся к волнообразным формам…

Обращаясь к моему маркшейдерскому прошлому, вспоминаю тезис Грейди Райта, который предположил развивать РБФ 91968 для автоматического создания карт изолиний.

Краткий обзор

Не так давно я спрашивал геологов и горных инженеров: — что такое Условное моделирование на их взгляд. Ответы были разные и часто были неопределенными. Вот уже более чем 10 лет горнодобывающая промышленность имеет представление об этой методике моделирования. Но методология была адаптирована из геометрического процесса. Мы должны следовать математическим правилам, чтобы установить, что предполагается под условным моделированием. Как только мы сделаем это, четкое определение станет очевидным. Это последовательное представление числовых атрибутов вдоль объема. Модель — это математическая функция в определениях x, y и z. Удобно, чтобы объем имел форму коробки из-под обуви. Учитывая координаты для любого положения xyz в пределах заданных экстентов, мы можем рассчитать значение атрибута в этом местоположении. Это то, что называется «непрерывное представление».

Не существует прямого способа визуализации модели самой по себе. Визуализация требует дополнительных независимых шагов, а также подразумевает выделение одной и более трехмерной изолинии или изоповерхности по моделируемому атрибуту. Поживем — увидим, примет ли наша индустрия данные определения или неясность останется. В недавнем выпуске AusIMM «Mineral Resource and Ore Reserve Estimation — Guide to Good Practice» было более двадцати упоминаний о «имплицитном моделировании». Это означает, что методология получает серьезное признание, а что более важно — индустрия имеет точное понимание значения этой методологии.

Опубликовано в журнале «Золото и технологии», № 1 (27)/март 2015 г.